Условие
Все грани параллелепипеда — равные ромбы, диагонали которых равны 6 см и 8 см. Найдите объём параллелепипеда.
Разбор задания
Номер 474 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 1. Объёмы тел
Решение
- Сторона ромба 5 см, площадь основания S = ½·6·8 = 24 см². Острый угол ромба θ лежит против диагонали 6: cos θ = (25 + 25 − 36)/50 = 7/25, cos(θ/2) = √((1 + 7/25)/2) = 4/5.
- Ребро AA₁ образует с рёбрами AB и AD основания равные углы θ, поэтому проектируется на диагональ AC (биссектрису угла BAD). Угол γ между AA₁ и основанием: cos γ = cos θ/cos(θ/2) = (7/25)/(4/5) = 7/20, sin γ = √(1 − 49/400) = 3√39/20.
- Высота h = 5·3√39/20 = 3√39/4 см. V = 24·3√39/4 = 18√39 см³ ≈ 112,4 см³.
Ответ
18√39 см³ ≈ 112,4 см³.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →