Условие
Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром l, если: а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол φ; б) боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол α; в) плоский угол при вершине равен β.
Разбор задания
Номер 479 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 1. Объёмы тел
Решение
- Пусть DABC — пирамида, O — центр основания, R = OA — радиус описанной окружности, a = R√3 — сторона основания, S(осн) = a²√3/4 = 3√3R²/4.
- а) h = l·sin φ, R = l·cos φ. V = ⅓·(3√3l²cos²φ/4)·l·sin φ = (√3/4)·l³·cos²φ·sin φ.
- б) В равнобедренном треугольнике DAC с углом α при основании AC = 2l·cos α, R = AC/√3 = 2l·cos α/√3, h = √(l² − R²) = l√(1 − 4cos²α/3) = l√(3 − 4cos²α)/√3. V = ⅓·(√3·l²cos²α)·l√(3 − 4cos²α)/√3 = (l³/3)·cos²α·√(3 − 4cos²α).
- в) Угол α при основании боковой грани равен 90° − β/2, cos α = sin(β/2): V = (l³/3)·sin²(β/2)·√(3 − 4sin²(β/2)).
Ответ
а) (√3/4)l³cos²φ·sin φ; б) (l³/3)cos²α·√(3 − 4cos²α); в) (l³/3)sin²(β/2)·√(3 − 4sin²(β/2)).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →