Условие
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если: а) её высота равна H, а двугранный угол при основании равен β; б) сторона основания равна m, а плоский угол при вершине равен α.
Разбор задания
Номер 481 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 1. Объёмы тел
Решение
- а) Линейный угол при основании — угол между апофемой и её проекцией (половиной стороны): половина стороны равна H·ctg β, сторона 2H·ctg β. V = ⅓·(2H·ctg β)²·H = 4H³/(3tg²β).
- б) В боковой грани (равнобедренный треугольник с основанием m и углом α при вершине) боковое ребро l = m/(2sin(α/2)). Половина диагонали основания m/√2, высота h = √(l² − m²/2) = m√(1 − 2sin²(α/2))/(2sin(α/2)) = m√(cos α)/(2sin(α/2)).
- V = ⅓·m²·h = m³√(cos α)/(6sin(α/2)).
Ответ
а) 4H³/(3tg²β); б) m³√(cos α)/(6sin(α/2)).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →