Номер 491 — Геометрия 11 класс

Основания усечённой пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны m и n (m > n). Две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны к основанию, а третья составляет с ним угол φ. Найдите объём усечённой пирамиды.

1. Грани при катетах перпендикулярны основанию, поэтому боковое ребро при вершине прямого угла перпендикулярно основаниям и равно высоте h. Расстояния от вершин прямых углов до гипотенуз равны m/2 и n/2, их разность (m − n)/2 — проекция высоты третьей грани: h = (m − n)·tg φ/2.
2. S₁ = m²/4, S₂ = n²/4, √(S₁S₂) = mn/4.
3. V = ⅓h(S₁ + S₂ + √(S₁S₂)) = ⅓·(m − n)tg φ/2·(m² + mn + n²)/4 = (m³ − n³)·tg φ/24.