Номер 488 — Геометрия 11 класс

Найдите объём треугольной пирамиды SABC, если: а) ∠BAC = 90°, BC = c, ∠ABC = φ и каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол θ; б) AC = BC = 10 см, AB = 12 см и каждый двугранный угол при основании равен 45°; в) боковые рёбра взаимно перпендикулярны и равны a, b, c.

1. а) Боковые рёбра равны, вершина проектируется в середину H гипотенузы BC, SH = (c/2)·tg θ. S(ABC) = ½·c·cos φ·c·sin φ = c²·sin 2φ/4. V = ⅓·(c²sin 2φ/4)·(c·tg θ/2) = c³·sin 2φ·tg θ/24.
2. б) Вершина проектируется в центр вписанной окружности, h = r (угол 45°). По формуле Герона S(ABC) = √(16·6·6·4) = 48 см², p = 16, r = 3 см. V = ⅓·48·3 = 48 см³.
3. в) Возьмём за основание грань с рёбрами a и b (прямоугольный треугольник площади ab/2); третье ребро c перпендикулярно ей — это высота. V = ⅓·(ab/2)·c = abc/6.