Условие
В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали BD₁ и A₁C взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см, AB = 3 см. Найдите объём параллелепипеда.
Разбор задания
Номер 522 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 1. Объёмы тел
Решение
- Пусть h — высота, x = AD. BD₁⃗ = BD⃗ + BB₁⃗, A₁C⃗ = AC⃗ − AA₁⃗; из перпендикулярности BD⃗·AC⃗ = h², а BD⃗·AC⃗ = (AD⃗ − AB⃗)·(AD⃗ + AB⃗) = x² − 9.
- BD₁² = BD² + h² = 36, A₁C² = AC² + h² = 64, и AC² + BD² = 2(9 + x²). Отсюда AC² = 23 + x², BD² = x² − 5, и 36 = (x² − 5) + (x² − 9): x = 5, h² = 16, h = 4 см.
- Площадь основания: cos A = (AC² − AB² − AD²)/(2·AB·AD) = (48 − 34)/30 = 7/15, sin A = 4√11/15, S = 3·5·sin A = 4√11 см². V = 4√11·4 = 16√11 см³ ≈ 53,1 см³.
Ответ
16√11 см³.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →