Условие
Два ребра тетраэдра равны b, а остальные четыре ребра равны a. Найдите объём тетраэдра, если рёбра длины b: а) имеют общие точки; б) не имеют общих точек.
Разбор задания
Номер 536 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 1. Объёмы тел
Решение
- а) Пусть DA = DB = b, остальные рёбра равны a: грань ABC — правильный треугольник, DC = a. Точка D проектируется на медиану CM (M — середина AB). В плоскости DMC: DM = √(b² − a²/4), CM = a√3/2, DC = a. Введём координаты M(0; 0), C(a√3/2; 0), D(x; h): из x² + h² = b² − a²/4 и (x − a√3/2)² + h² = a² находим x = (2b² − a²)/(2a√3), h² = (4a²b² − a⁴ − b⁴)/(3a²).
- V = ⅓·(a²√3/4)·h = a√(4a²b² − a⁴ − b⁴)/12.
- б) Пусть AB = CD = b, остальные четыре ребра равны a. Отрезки AB и CD скрещиваются и перпендикулярны (тетраэдр симметричен); расстояние между ними: середины M и N отрезков AB и CD, MN = √(a² − b²/4 − b²/4) = √(a² − b²/2). Объём тетраэдра со взаимно перпендикулярными скрещивающимися рёбрами: V = ⅙·AB·CD·MN = b²√(a² − b²/2)/6 = b²√(4a² − 2b²)/12.
Ответ
а) a√(4a²b² − a⁴ − b⁴)/12; б) b²√(4a² − 2b²)/12.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →