Номер 534 — Геометрия 11 класс

Основанием четырёхугольной пирамиды, высота которой равна H, является параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом α. Попарно равные противоположные боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания углы β и γ. Найдите объём пирамиды.

1. SA = SC и SB = SD, поэтому проекция вершины равноудалена от A и C и от B и D — она лежит на серединных перпендикулярах к диагоналям, то есть совпадает с точкой O их пересечения.
2. OA = H·ctg β, OB = H·ctg γ, диагонали 2H·ctg β и 2H·ctg γ. Площадь параллелограмма S = ½d₁d₂·sin α = 2H²·ctg β·ctg γ·sin α.
3. V = ⅓SH = ⅔H³·ctg β·ctg γ·sin α.