Номер 541 — Геометрия 11 класс

В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник. Меньшая сторона прямоугольника равна a, а острый угол между его диагоналями равен φ₁. Боковая грань, содержащая меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания двугранный угол φ₂. Найдите объём конуса.

1. Меньшая сторона видна из центра прямоугольника под углом φ₁, поэтому диагональ d = a/sin(φ₁/2), радиус основания конуса R = d/2 = a/(2sin(φ₁/2)).
2. Расстояние от центра до меньшей стороны равно половине большей стороны: (d/2)·cos(φ₁/2) = a·ctg(φ₁/2)/2. Высота h = (a/2)·ctg(φ₁/2)·tg φ₂.
3. V = ⅓πR²h = ⅓π·a²/(4sin²(φ₁/2))·(a/2)ctg(φ₁/2)·tg φ₂ = πa³·cos(φ₁/2)·tg φ₂/(24sin³(φ₁/2)).