Номер 560 — Геометрия 11 класс

На рисунке 105 изображён тетраэдр ABCD, рёбра которого равны. Точки M, N, P и Q — середины сторон AB, AD, DC, BC. а) Назовите все пары равных векторов, изображённых на этом рисунке (DP⃗, PC⃗, MN⃗, QP⃗, PN⃗, QM⃗). б) Определите вид четырёхугольника MNPQ.

1. а) P — середина DC: DP⃗ = PC⃗. MN и QP — средние линии треугольников ADB и DBC: обе параллельны BD и равны ½BD, сонаправлены: MN⃗ = QP⃗. PN и QM — средние линии треугольников ACD и ABC: PN⃗ = QM⃗ (параллельны AC, равны ½AC).
2. б) Все рёбра равны, поэтому MN = QP = PN = QM = ½AC = ½BD — MNPQ ромб. Рёбра AC и BD правильного тетраэдра перпендикулярны, значит MN ⟂ NP, и MNPQ — квадрат.