Номер 659 — Геометрия 11 класс

Лежат ли точки A, B, C и D в одной плоскости, если: а) A(−2; −13; 3), B(1; 4; 1), C(−1; −1; −4), D(0; 0; 0); б) A(0; 1; 0), B(3; 4; −1), C(−2; −3; 0), D(2; 0; 3); в) A(5; −1; 0), B(−2; 7; 1), C(12; −15; −7), D(1; 1; −2)?

1. Точки лежат в одной плоскости, если векторы AB⃗, AC⃗, AD⃗ компланарны, то есть один из них раскладывается по двум другим (не коллинеарным).
2. а) AB⃗{3; 17; −2}, AC⃗{1; 12; −7}, AD⃗{2; 13; −3}. Ищем AD⃗ = x·AB⃗ + y·AC⃗: 3x + y = 2, 17x + 12y = 13, −2x − 7y = −3. Из первого y = 2 − 3x; подставим во второе: 17x + 24 − 36x = 13, x = 11/19, y = 5/19. Третье: −22/19 − 35/19 = −57/19 = −3 — верно. Компланарны, точки в одной плоскости.
3. б) AB⃗{3; 3; −1}, AC⃗{−2; −4; 0}, AD⃗{2; −1; 3}. Ищем AD⃗ = x·AB⃗ + y·AC⃗: по третьей координате −x = 3, x = −3; по первой −9 − 2y = 2, y = −5,5; по второй −9 + 22 = 13 ≠ −1. Разложения нет — точки не лежат в одной плоскости.
4. в) AB⃗{−7; 8; 1}, AC⃗{7; −14; −7}, AD⃗{−4; 2; −2}. Ищем AD⃗ = x·AB⃗ + y·AC⃗: по третьей координате x − 7y = −2; по первой −7x + 7y = −4. Складывая, −6x = −6, x = 1, y = 3/7. Проверка второй: 8 − 6 = 2 — верно. AD⃗ = AB⃗ + (3/7)AC⃗, точки в одной плоскости.