Условие
Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC с вершинами A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂), C(x₃; y₃; z₃) имеет координаты ((x₁ + x₂ + x₃)/3; (y₁ + y₂ + y₃)/3; (z₁ + z₂ + z₃)/3).
Разбор задания
Номер 660 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Пусть M — точка пересечения медиан, O — начало координат. Ранее доказано (задача 603), что OM⃗ = ⅓(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗).
- Радиус-векторы OA⃗, OB⃗, OC⃗ имеют координаты {x₁; y₁; z₁}, {x₂; y₂; z₂}, {x₃; y₃; z₃}. Тогда OM⃗ = {(x₁ + x₂ + x₃)/3; (y₁ + y₂ + y₃)/3; (z₁ + z₂ + z₃)/3}.
- Координаты точки M совпадают с координатами её радиус-вектора, что и требовалось.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →