Номер 748 — Геометрия 11 класс

Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 3 : 1, считая от вершины.

1. Пусть ABCD — тетраэдр, M — точка пересечения медиан грани BCD, O — произвольная точка. Тогда OM⃗ = ⅓(OB⃗ + OC⃗ + OD⃗).
2. Отметим на медиане AM точку K, для которой AK : KM = 3 : 1, то есть AK⃗ = ¾AM⃗. Тогда OK⃗ = OA⃗ + ¾(OM⃗ − OA⃗) = ¼OA⃗ + ¾·⅓(OB⃗ + OC⃗ + OD⃗) = ¼(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗ + OD⃗).
3. Это выражение симметрично относительно всех четырёх вершин. Поэтому точка, делящая любую другую медиану в отношении 3 : 1 от вершины, задаётся тем же вектором OK⃗, то есть совпадает с K. Значит, все четыре медианы проходят через K и делятся ею в отношении 3 : 1.