Номер 751 — Геометрия 11 класс

Все рёбра тетраэдра ABCD равны друг другу, D₁ — проекция точки D на плоскость ABC. Перпендикулярны ли векторы: а) D₁B⃗ и D₁D⃗; б) DD₁⃗ и BC⃗; в) DA⃗ и BC⃗; г) D₁B⃗ и DC⃗?

1. DD₁ — перпендикуляр к плоскости ABC, а D₁ — центр правильного треугольника ABC (высота правильного тетраэдра падает в центр основания).
2. а) D₁B лежит в плоскости ABC, DD₁ ⟂ этой плоскости, значит D₁B⃗ ⟂ D₁D⃗ — да.
3. б) BC лежит в плоскости ABC, поэтому DD₁⃗ ⟂ BC⃗ — да.
4. в) DA⃗·BC⃗ = DA⃗·(DC⃗ − DB⃗) = DA⃗·DC⃗ − DA⃗·DB⃗ = a²cos 60° − a²cos 60° = 0 — да (противоположные рёбра правильного тетраэдра перпендикулярны).
5. г) DC⃗ = DD₁⃗ + D₁C⃗, поэтому D₁B⃗·DC⃗ = D₁B⃗·DD₁⃗ + D₁B⃗·D₁C⃗ = 0 + D₁B·D₁C·cos 120° = −R²/2 ≠ 0 (R — радиус описанной окружности треугольника ABC, угол BD₁C = 120°) — нет.