Условие
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка M — центр грани BB₁C₁C. Вычислите угол между векторами: а) A₁D⃗ и AM⃗; б) MD⃗ и BB₁⃗.
Разбор задания
Номер 753 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Пусть ребро равно 1, A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1), B₁(1; 0; 1). Центр грани BB₁C₁C: M(1; ½; ½).
- а) A₁D⃗{0; 1; −1}, AM⃗{1; ½; ½}: произведение 0 + ½ − ½ = 0, угол 90°.
- б) MD⃗{−1; ½; −½}, BB₁⃗{0; 0; 1}: произведение −½, |MD⃗| = √(1 + ¼ + ¼) = √6/2, |BB₁⃗| = 1. cos φ = −½/(√6/2) = −1/√6 = −√6/6, φ = arccos(−√6/6) ≈ 114°.
Ответ
а) 90°; б) arccos(−√6/6) ≈ 114°.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →