Номер 768 — Геометрия 11 класс

В основании пирамиды MABC лежит треугольник ABC, в котором ∠C = 90°, AC = 4 см, BC = 3 см. Грань MAC перпендикулярна к плоскости основания, а две другие боковые грани составляют равные углы с плоскостью основания. Расстояние от основания высоты MH пирамиды до грани MBC равно 3√2/4 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

1. Грань MAC ⟂ основанию, поэтому высота MH лежит в плоскости MAC и H ∈ AC. Грани MAB и MBC наклонены к основанию одинаково, значит H равноудалена от прямых AB и BC, то есть лежит на биссектрисе угла B треугольника ABC.
2. AB = 5. По свойству биссектрисы AH : HC = AB : BC = 5 : 3, откуда HC = 4·3/8 = 1,5 см; расстояние от H до AB тоже 1,5 см.
3. Пусть φ — угол наклона грани MBC. Расстояние от H до плоскости MBC равно HC·sin φ (HC ⟂ BC, в прямоугольном треугольнике с линейным углом φ). Из 1,5·sin φ = 3√2/4 получаем sin φ = √2/2, φ = 45°. Тогда MH = HC·tg 45° = 1,5 см.
4. Апофемы граней MBC и MAB: 1,5/cos 45° = 1,5√2. S_MBC = ½·3·1,5√2 = 2,25√2, S_MAB = ½·5·1,5√2 = 3,75√2. Грань MAC: S_MAC = ½·AC·MH = ½·4·1,5 = 3.
5. S_бок = 2,25√2 + 3,75√2 + 3 = 6√2 + 3 ≈ 11,5 см².