Номер 800 — Геометрия 11 класс

На плоскости лежат четыре шара радиуса R, причём три из них попарно касаются друг друга, а четвёртый касается двух из них. На эти шары положены сверху два шара меньшего радиуса r, касающиеся друг друга, причём каждый из них касается трёх больших шаров. Найдите радиус маленьких шаров.

1. Центры больших шаров лежат в плоскости на высоте R и образуют ромб из двух правильных треугольников ABC и BCD со стороной 2R (шары касаются, когда расстояние между центрами равно 2R).
2. Маленький шар, касающийся трёх больших шаров с центрами A, B, C, равноудалён от них, поэтому его центр лежит на перпендикуляре к плоскости центров, проходящем через центр треугольника ABC. Второй маленький шар — над центром треугольника BCD, на той же высоте (по симметрии).
3. Расстояние между центрами треугольников ABC и BCD равно удвоенному расстоянию от центра до общей стороны BC: 2·(2R·√3/2)/3 = 2√3R/3. Маленькие шары касаются друг друга, значит это расстояние равно 2r: r = √3R/3.
4. Проверка возможности: (R + r)² = (2R/√3)² + z², где z — превышение центра маленького шара над плоскостью центров; (R + R/√3)² − 4R²/3 = R²(1 + 2/√3 + 1/3 − 4/3) = 2R²/√3 > 0, так что такое расположение существует.