Номер 797 — Геометрия 11 класс

Найдите множество всех таких точек, из которых можно провести к данной сфере три попарно перпендикулярные касательные прямые.

1. Пусть сфера имеет центр O и радиус R, точка P находится на расстоянии d > R от O. Все касательные из P к сфере образуют с прямой PO один и тот же угол α, где sin α = R/d.
2. Если три касательные из P попарно перпендикулярны, то направим по ним оси координат; косинусы углов между PO и осями удовлетворяют равенству cos²α + cos²α + cos²α = 1 (задача 757), откуда cos²α = ⅓, sin²α = ⅔.
3. Тогда R²/d² = ⅔, d = R√(3/2) = R√6/2. Обратно, если OP = R√6/2, то три попарно перпендикулярные прямые через P, образующие с PO углы с cos α = 1/√3 (например, направленные как рёбра куба из вершины, диагональ которого лежит на PO), составляют с PO угол α, sin α = √(2/3) = R/d, и потому касаются сферы.
4. Искомое множество — сфера с центром O радиуса R√6/2.