Номер 799 — Геометрия 11 класс

Какому условию должны удовлетворять радиусы трёх шаров, попарно касающихся друг друга, чтобы к ним можно было провести общую касательную плоскость?

1. Пусть радиусы r₁ ≥ r₂ ≥ r₃, и все шары касаются плоскости α с одной стороны. Центры O₁, O₂, O₃ находятся на высотах r₁, r₂, r₃ над α, а O_iO_j = r_i + r_j (шары касаются внешним образом).
2. Пусть O_i′ — проекции центров на α. Тогда O_i′O_j′² = (r_i + r_j)² − (r_i − r_j)² = 4r_ir_j, то есть O_i′O_j′ = 2√(r_ir_j).
3. Обратно, если на плоскости α можно расположить точки O₁′, O₂′, O₃′ с такими расстояниями, то, подняв их на высоты r_i, получим центры трёх попарно касающихся шаров, касающихся α. Значит, условие — существование треугольника (возможно, вырожденного) со сторонами 2√(r₁r₂), 2√(r₁r₃), 2√(r₂r₃): наибольшая сторона 2√(r₁r₂) не превосходит суммы двух других.
4. √(r₁r₂) ≤ √(r₁r₃) + √(r₂r₃); разделив на √(r₁r₂r₃), получаем 1/√r₃ ≤ 1/√r₁ + 1/√r₂ (при равенстве три точки касания лежат на одной прямой).