Номер 802 — Геометрия 11 класс

Плоскости AB₁C₁ и A₁BC разбивают треугольную призму ABCA₁B₁C₁ на четыре части. Найдите отношение объёмов этих частей.

1. Пусть V — объём призмы. Плоскость AB₁C₁ отсекает тетраэдр AA₁B₁C₁ объёма V/3 (основание A₁B₁C₁, высота — высота призмы); плоскость A₁BC отсекает тетраэдр A₁ABC объёма V/3.
2. Эти плоскости пересекаются по прямой MN, где M = AB₁ ∩ A₁B и N = AC₁ ∩ A₁C — центры боковых граней. Общая часть двух тетраэдров — тетраэдр AA₁MN.
3. Введём координаты A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1) (объём призмы V = ½). Тогда M(½; 0; ½), N(0; ½; ½), и V(AA₁MN) = ⅙|det(AA₁⃗, AM⃗, AN⃗)| = ⅙·¼ = 1/24 = V/12.
4. Четыре части: тетраэдр AA₁MN — V/12; остаток тетраэдра AA₁B₁C₁ — V/3 − V/12 = V/4; остаток тетраэдра A₁ABC — V/4; оставшаяся часть призмы — V − V/3 − V/3 + V/12 = 5V/12. Отношение 1 : 3 : 3 : 5.