Условие
Докажите, что объём тетраэдра равен ⅙abc·sin φ, где a и b — противоположные рёбра, а φ и c — соответственно угол и расстояние между ними.
Разбор задания
Номер 803 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть AB = a и CD = b — противоположные рёбра тетраэдра ABCD. Через AB проведём плоскость, параллельную CD, через CD — плоскость, параллельную AB, и через концы рёбер — плоскости, параллельные обоим рёбрам. Получим параллелепипед, в котором AB и CD — диагонали двух противоположных граней.
- Площадь грани с диагональю AB равна ½ab·sin φ (диагонали параллелограмма равны a и b и образуют угол φ), расстояние между этими гранями равно c, поэтому объём параллелепипеда V₀ = ½abc·sin φ.
- Тетраэдр ABCD получается из параллелепипеда отсечением четырёх тетраэдров объёмом V₀/6 каждый, поэтому V = V₀ − 4V₀/6 = V₀/3 = ⅙abc·sin φ.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →