Номер 801 — Геометрия 11 класс

На плоскости лежат три шара радиуса R, попарно касающиеся друг друга. Основание конуса лежит в указанной плоскости, а данные шары касаются его извне. Высота конуса равна λR. Найдите радиус его основания.

1. Центры шаров образуют правильный треугольник со стороной 2R на высоте R над плоскостью; по симметрии ось конуса проходит через центр этого треугольника, поэтому проекция центра любого шара удалена от центра H основания конуса на d = 2R/√3.
2. Рассмотрим осевое сечение конуса плоскостью, проходящей через центр O₁ одного из шаров: в нём точка O₁(d; R) (ось Ox — по основанию от H, Oy — по высоте), образующая проходит через точки (r; 0) и (0; λR) и задаётся уравнением λR·x + r·y − λR·r = 0. Шар касается конуса извне, значит расстояние от O₁ до этой прямой равно R, причём O₁ лежит вне конуса: λR·d + rR − λR·r = R√(λ²R² + r²).
3. Пусть x = r/R. После подстановки d = 2R/√3 и деления на R²: 2λ/√3 + x(1 − λ) = √(λ² + x²). Возводим в квадрат и упрощаем: 3(λ − 2)x² − 4√3(λ − 1)x + λ = 0.
4. При λ = 2 уравнение линейное: x = 1/(2√3) = √3/6. При λ ≠ 2 корни x = [2√3(λ − 1) ± √(9λ² − 18λ + 12)]/(3(λ − 2)); условию 2λ/√3 + x(1 − λ) > 0 (до возведения в квадрат) удовлетворяет только корень со знаком «−». Его удобно записать через произведение корней: x = λ/(√3(2λ − 2 + √(3λ² − 6λ + 4))) — эта формула верна и при λ = 2.