Условие
В тетраэдр с высотами h₁, h₂, h₃, h₄ вписан шар радиуса R. Докажите, что 1/R = 1/h₁ + 1/h₂ + 1/h₃ + 1/h₄.
Разбор задания
Номер 798 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть S₁, S₂, S₃, S₄ — площади граней, V — объём тетраэдра. Соединив центр вписанного шара с вершинами, разобьём тетраэдр на четыре пирамиды с высотой R: V = ⅓R(S₁ + S₂ + S₃ + S₄).
- С другой стороны, V = ⅓S_ih_i, откуда S_i = 3V/h_i.
- Подставляя: V = ⅓R·3V(1/h₁ + 1/h₂ + 1/h₃ + 1/h₄), и после сокращения на V получаем 1/R = 1/h₁ + 1/h₂ + 1/h₃ + 1/h₄.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →