Условие
Найдите множество центров всех сечений шара плоскостями, проходящими через данную прямую, не пересекающую шар.
Разбор задания
Номер 796 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть O — центр шара радиуса R, a — данная прямая, K — основание перпендикуляра, опущенного из O на a (OK > R, так как прямая не пересекает шар). Центр сечения плоскостью π — основание M перпендикуляра из O на π.
- OM ⟂ π, поэтому OM ⟂ a (a ⊂ π), то есть M лежит в плоскости β, проходящей через O перпендикулярно a. Кроме того, MK ⊂ π, значит OM ⟂ MK: из точки M отрезок OK виден под прямым углом, и M лежит на окружности с диаметром OK в плоскости β.
- Плоскость π пересекает шар по кругу тогда и только тогда, когда OM < R, поэтому центры сечений заполняют часть этой окружности, лежащую внутри шара (дугу, концы которой лежат на сфере, соответствуют касательным плоскостям и исключаются).
- Обратно, каждая точка M этой дуги — центр сечения плоскостью, проходящей через a и M (она перпендикулярна OM, так как OM ⟂ a и OM ⟂ MK).
Ответ
Дуга окружности с диаметром OK (K — основание перпендикуляра из центра O на прямую), лежащей в плоскости через O, перпендикулярной прямой, — та её часть, которая находится внутри шара.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →