Условие
Основанием пирамиды OABCD является параллелограмм ABCD. В каком отношении делит объём пирамиды плоскость, проходящая через прямую AB и среднюю линию грани OCD?
Разбор задания
Номер 805 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть M и N — середины рёбер OC и OD; сечение — четырёхугольник ABMN. Отношение объёмов не меняется при аффинных преобразованиях, поэтому возьмём A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), C(1; 1; 0), O(0; 0; 1); объём пирамиды V = ⅓·1·1 = ⅓.
- M(½; ½; ½), N(0; ½; ½). Верхняя часть — пирамида OABMN; разобьём её плоскостью OAM на тетраэдры OABM и OAMN: V(OABM) = ⅙|det(AO⃗, AB⃗, AM⃗)| = ⅙·½ = 1/12; V(OAMN) = ⅙|det(AO⃗, AM⃗, AN⃗)| = ⅙·¼ = 1/24.
- Верхняя часть: 1/12 + 1/24 = 1/8 = 3V/8. Нижняя часть: V − 3V/8 = 5V/8. Отношение 3 : 5.
Ответ
3 : 5 (считая от вершины).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →