Условие
Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На одной из них взят отрезок AB, а на двух других — точки C и D соответственно. Докажите, что объём тетраэдра ABCD не зависит от выбора точек C и D.
Разбор задания
Номер 806 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть AB лежит на прямой a, C — на прямой b, D — на прямой c. Параллельные прямые a и b лежат в одной плоскости α, и площадь треугольника ABC равна ½·AB·h₁, где h₁ — расстояние между прямыми a и b; она не зависит от положения C на b.
- Прямая c параллельна a, а значит, параллельна плоскости α (c не лежит в α по условию). Поэтому расстояние от любой точки D прямой c до плоскости α одно и то же — h₂.
- V(ABCD) = ⅓·S(ABC)·h₂ = ⅙·AB·h₁·h₂ — не зависит от выбора C и D.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →