Номер 808 — Геометрия 11 класс

В двух параллельных плоскостях взяты два многоугольника. Их вершины соединены отрезками так, что у полученного многогранника все боковые грани — трапеции, треугольники и параллелограммы. Докажите, что V = (h/6)(S₁ + S₂ + 4S₃), где V — объём многогранника, h — его высота, S₁ и S₂ — площади оснований, а S₃ — площадь сечения плоскостью, параллельной плоскостям оснований и равноудалённой от них.

1. Среднее сечение — многоугольник, стороны которого — средние линии боковых граней (у треугольной грани — средняя линия, параллельная стороне, лежащей в основании). Возьмём точку O внутри среднего сечения и соединим её со всеми вершинами: многогранник разобьётся на пирамиды с вершиной O, основаниями которых служат его грани.
2. Пирамиды над основаниями имеют высоту h/2, их суммарный объём равен ⅓·(h/2)(S₁ + S₂) = h(S₁ + S₂)/6.
3. Пусть боковая грань F — трапеция (треугольник, параллелограмм) с высотой h/sin θ, где θ — угол между её плоскостью и плоскостями оснований, а MN — её средняя линия (лежит в среднем сечении). Тогда S(F) = MN·h/sin θ. Расстояние от O до плоскости грани равно d·sin θ, где d — расстояние от O до прямой MN в среднем сечении. Объём пирамиды: ⅓·S(F)·d·sin θ = ⅓·MN·h·d = (2h/3)·S(OMN).
4. Треугольники OMN по всем боковым граням составляют среднее сечение, поэтому сумма объёмов боковых пирамид равна (2h/3)S₃ = 4hS₃/6. Итого V = (h/6)(S₁ + S₂ + 4S₃).