Номер 809 — Геометрия 11 класс

Два равных цилиндра, высоты которых больше их диаметров, расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом и точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров. Найдите объём общей части этих цилиндров, если радиус каждого из них равен 1 см.

1. Направим оси цилиндров по осям Ox и Oy: общая часть — множество точек с y² + z² ≤ 1 и x² + z² ≤ 1 (высоты больше диаметров, поэтому основания цилиндров тела не ограничивают).
2. Сечение общей части плоскостью z = t (|t| ≤ 1) — квадрат |x| ≤ √(1 − t²), |y| ≤ √(1 − t²) площадью 4(1 − t²).
3. Объём — сумма объёмов тонких слоёв: V = ∫ от −1 до 1 4(1 − t²) dt = 4(2 − ⅔) = 16/3. Тот же результат даёт сравнение с шаром радиуса 1: сечение шара на высоте t — круг площадью π(1 − t²), вписанный в квадрат сечения нашего тела, поэтому V = (4/π)·V_шара = (4/π)·(4π/3) = 16/3.