Номер 810 — Геометрия 11 класс

Вокруг данного шара описан конус с углом φ при вершине осевого сечения. При каком значении φ конус имеет наименьший объём?

1. Пусть r — радиус шара, α = φ/2. В осевом сечении — равнобедренный треугольник с углом 2α при вершине и вписанной окружностью радиуса r. Высота конуса h = r + r/sin α = r(1 + sin α)/sin α, радиус основания R = h·tg α.
2. V = ⅓πR²h = ⅓πh³tg²α = ⅓πr³·(1 + sin α)³/sin³α · sin²α/cos²α = ⅓πr³·(1 + s)²/(s(1 − s)), где s = sin α ∈ (0; 1).
3. Исследуем f(s) = (1 + s)²/(s − s²): f′(s) = (1 + s)[2(s − s²) − (1 + s)(1 − 2s)]/(s − s²)² = (1 + s)(3s − 1)/(s − s²)². Производная меняет знак с «−» на «+» при s = ⅓, это точка минимума.
4. sin(φ/2) = ⅓, то есть φ = 2arcsin(⅓) = arccos(1 − 2·1/9) = arccos(7/9) ≈ 38,9°. Наименьший объём равен ⅓πr³·(4/3)²/(⅓·⅔) = 8πr³/3.