Условие
В конус вписан шар. Докажите, что отношение объёмов конуса и шара равно отношению площадей полной поверхности конуса и сферы, являющейся границей шара.
Разбор задания
Номер 811 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть r — радиус шара, O — его центр. Соединим O со всеми точками поверхности конуса: конус разбивается на «пирамиду» с вершиной O и основанием — кругом основания конуса и на тело с вершиной O над боковой поверхностью. Высота каждого из них равна r (шар касается основания и боковой поверхности), поэтому V_конуса = ⅓r·S_осн + ⅓r·S_бок = ⅓r·S_полн (для боковой поверхности это получается предельным переходом от вписанных пирамид).
- Для шара V_шара = 4πr³/3 = ⅓r·4πr² = ⅓r·S_сферы.
- Отношение объёмов: V_конуса/V_шара = (⅓r·S_полн)/(⅓r·S_сферы) = S_полн/S_сферы.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →