Номер 812 — Геометрия 11 класс

Правильная четырёхугольная пирамида, у которой сторона основания равна a, а плоский угол при вершине равен φ, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объём полученного тела вращения.

1. Пусть h — высота пирамиды. В боковой грани апофема равна (a/2)ctg(φ/2), поэтому h² = (a²/4)(ctg²(φ/2) − 1).
2. Введём координаты: вершина S(0; 0; h), основание — квадрат |x| ≤ a/2, |y| ≤ a/2 в плоскости z = 0, ось вращения ℓ — прямая через S, параллельная Ox. Плоскость x = t (|t| ≤ a/2) пересекает пирамиду по трапеции: 0 ≤ z ≤ h(1 − 2|t|/a), |y| ≤ (a/2)(1 − z/h), а ось ℓ — в точке (0; h) этой плоскости.
3. При вращении трапеция заметает кольцо между окружностями радиусов d_min и d_max, где d_max² = a²/4 + h² (расстояние до вершин основания), d_min = h − h(1 − 2|t|/a) = 2h|t|/a (расстояние до верхней стороны трапеции). Площадь кольца: π(a²/4 + h² − 4h²t²/a²).
4. V = ∫ от −a/2 до a/2 π(a²/4 + h² − 4h²t²/a²) dt = π(a³/4 + ah² − (4h²/a²)·(a³/12)) = πa(a²/4 + 2h²/3).
5. Подставляя h²: V = πa(a²/4 + (a²/6)(ctg²(φ/2) − 1)) = πa³(1 + 2ctg²(φ/2))/12.