Номер 835 — Геометрия 11 класс

На каждой из сторон выпуклого четырёхугольника отмечены две точки. Эти точки соединены отрезками так, как показано на рисунке 210 (два отрезка соединяют точки на противоположных сторонах AB и CD, два других — точки на сторонах BC и DA; получается «решётка» из девяти четырёхугольников). Известно, что в каждый из закрашенных четырёхугольников (четыре угловых и центральный) можно вписать окружность. Докажите, что и в исходный четырёхугольник можно вписать окружность.

1. Обозначим точки на сторонах: A₂, B₂ на AB; B₁, C₁ на BC; C₂, D₂ на CD; D₁, A₁ на DA; отрезки B₁A₁ и C₁D₁ пересекают отрезки B₂C₂ и A₂D₂ в точках K₁, K₂, K₃, K₄ (K₁ = B₁A₁ ∩ B₂C₂ и далее по кругу). Пусть ω_A, ω_B, ω_C, ω_D — окружности, вписанные в угловые четырёхугольники AA₁K₄A₂, BB₂K₁B₁, CC₁K₂C₂, DD₂K₃D₁, ω — окружность центрального K₁K₂K₃K₄. Достаточно доказать AB + CD = BC + AD.
2. Отрезки касательных из вершин: AA₁ = AA₂ = t_A, BB₁ = BB₂ = t_B, CC₁ = CC₂ = t_C, DD₁ = DD₂ = t_D. Тогда AB + CD − BC − AD = (t_A + A₂B₂ + t_B) + (t_C + C₂D₂ + t_D) − (t_B + B₁C₁ + t_C) − (t_D + D₁A₁ + t_A) = A₂B₂ + C₂D₂ − B₁C₁ − D₁A₁.
3. Отрезки общих касательных двух окружностей, заключённые между точками касания, равны. Прямые AB и B₁A₁ — общие касательные ω_A и ω_B, поэтому A₂B₂ = M₁M₂, где M₁, M₂ — точки касания ω_B и ω_A с прямой B₁A₁. Аналогично C₂D₂ = N₁N₂ (точки касания ω_C, ω_D с прямой C₁D₁), B₁C₁ = E₁E₂ (точки касания ω_B, ω_C с прямой B₂C₂), D₁A₁ = F₁F₂ (точки касания ω_A, ω_D с прямой A₂D₂).
4. Из точки K₁ к ω_B проведены касательные K₁M₁ и K₁E₁, поэтому K₁M₁ = K₁E₁; так же K₄M₂ = K₄F₁ (ω_A), K₂N₁ = K₂E₂ (ω_C), K₃N₂ = K₃F₂ (ω_D). Тогда M₁M₂ = K₁E₁ + K₁K₄ + K₄F₁, N₁N₂ = K₂E₂ + K₂K₃ + K₃F₂, E₁E₂ = K₁E₁ + K₁K₂ + K₂E₂, F₁F₂ = K₄F₁ + K₄K₃ + K₃F₂.
5. Подставляя: AB + CD − BC − AD = M₁M₂ + N₁N₂ − E₁E₂ − F₁F₂ = K₁K₄ + K₂K₃ − K₁K₂ − K₃K₄ = 0, так как в четырёхугольник K₁K₂K₃K₄ вписана окружность ω и суммы его противоположных сторон равны. Значит, AB + CD = BC + AD, и в ABCD можно вписать окружность.