Условие
В трапецию ABCD с основаниями AB и CD (AB > CD) вписана окружность. Найдите площадь трапеции, если CD = a, DK = b и AK = d, где K — точка касания окружности и стороны AD.
Разбор задания
Номер 834 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть O — центр окружности, r — радиус. Углы A и D трапеции в сумме дают 180°, а OA и OD — биссектрисы, поэтому ∠AOD = 90°, и OK — высота прямоугольного треугольника AOD: r² = AK·KD = bd, r = √(bd). Высота трапеции h = 2r = 2√(bd).
- Отрезки касательных: от D — по b (на DA и DC), от A — по d, от C — CD − b = a − b. Пусть отрезок касательной от B равен x; аналогично для угла B + C = 180° получаем r² = x(a − b), x = bd/(a − b).
- AB = d + x = d + bd/(a − b) = ad/(a − b).
- S = ½(AB + CD)·h = ½(ad/(a − b) + a)·2√(bd) = a(a − b + d)√(bd)/(a − b).
Ответ
S = a(a − b + d)√(bd)/(a − b).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →