Номер 833 — Геометрия 11 класс

Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.

1. Пусть основания трапеции a и b, радиус вписанной окружности r; высота трапеции равна перпендикулярной боковой стороне и равна 2r.
2. Отрезки касательных: от вершин при перпендикулярной боковой стороне — по r, от двух других вершин — a − r и b − r, поэтому наклонная боковая сторона равна a + b − 2r.
3. По теореме Пифагора для наклонной стороны: (a + b − 2r)² = (2r)² + (a − b)². Раскрывая скобки: a² + b² + 4r² + 2ab − 4ar − 4br = 4r² + a² − 2ab + b², откуда 4ab = 4r(a + b), r = ab/(a + b).
4. S = ½(a + b)·2r = (a + b)·ab/(a + b) = ab.