Условие
Противоположные стороны выпуклого четырёхугольника продолжены до пересечения. Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда биссектрисы образовавшихся углов взаимно перпендикулярны.
Разбор задания
Номер 831 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть в четырёхугольнике ABCD с углами A, B, C, D прямые AB и DC пересекаются в точке P (за точками B и C), прямые AD и BC — в точке Q (за точками D и C). Обозначим p = ∠APD, q = ∠AQB. Из треугольников APD и AQB: p = 180° − A − D, q = 180° − A − B.
- Пусть биссектриса угла P пересекает сторону AD в точке L, биссектриса угла Q — сторону AB в точке N, а сами биссектрисы пересекаются в точке O. В треугольнике APL: ∠ALP = 180° − A − p/2; в треугольнике AQN: ∠ANQ = 180° − A − q/2.
- В четырёхугольнике ANOL: ∠NOL = 360° − A − ∠ANO − ∠ALO = 360° − A − (180° − A − q/2) − (180° − A − p/2) = A + (p + q)/2 = A + (360° − 2A − B − D)/2 = 180° − (B + D)/2.
- Биссектрисы перпендикулярны ⇔ ∠NOL = 90° ⇔ B + D = 180° ⇔ около ABCD можно описать окружность.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →