Условие
Докажите, что в выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в два треугольника, на которые он разделяется диагональю, касаются этой диагонали в одной точке.
Разбор задания
Номер 832 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть диагональ AC делит четырёхугольник ABCD на треугольники ABC и ACD. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке, удалённой от A на (AB + AC − BC)/2; окружность, вписанная в ACD, — в точке, удалённой от A на (AD + AC − CD)/2.
- Точки касания совпадают ⇔ AB − BC = AD − CD ⇔ AB + CD = BC + AD.
- Равенство сумм противоположных сторон — необходимое и достаточное условие существования вписанной окружности в выпуклом четырёхугольнике. Значит, окружность можно вписать тогда и только тогда, когда точки касания совпадают.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →