Номер 848 — Геометрия 11 класс

Докажите, что: а) площадь S четырёхугольника со сторонами a, b, c, d, описанного около окружности, выражается формулой S = √(abcd)·sin((B + D)/2); б) если четырёхугольник со сторонами a, b, c, d является одновременно описанным и вписанным, то его площадь S выражается формулой S = √(abcd).

1. а) В описанном четырёхугольнике a + c = b + d = p, поэтому p − a = c, p − b = d, p − c = a, p − d = b. По формуле задачи 847: S² = abcd − abcd·cos²((B + D)/2) = abcd·sin²((B + D)/2), откуда S = √(abcd)·sin((B + D)/2).
2. б) Если четырёхугольник ещё и вписанный, то B + D = 180°, sin((B + D)/2) = 1, и S = √(abcd).