Номер 847 — Геометрия 11 класс

Докажите, что: а) квадрат площади S выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c, d и полупериметром p выражается формулой S² = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd·cos²((B + D)/2); б) площадь S вписанного четырёхугольника выражается формулой S = √((p − a)(p − b)(p − c)(p − d)); исходя из этой формулы, получите формулу Герона для площади треугольника.

1. а) Пусть AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Диагональ AC делит четырёхугольник на треугольники с углами B и D: 2S = ab·sin B + cd·sin D. По теореме косинусов AC² = a² + b² − 2ab·cos B = c² + d² − 2cd·cos D, откуда a² + b² − c² − d² = 2(ab·cos B − cd·cos D).
2. Возведём оба равенства в квадрат и сложим: 4S² + ¼(a² + b² − c² − d²)² = a²b² + c²d² − 2abcd(cos B·cos D − sin B·sin D) = a²b² + c²d² − 2abcd·cos(B + D).
3. Используя cos(B + D) = 2cos²((B + D)/2) − 1: 16S² = 4a²b² + 4c²d² + 8abcd − (a² + b² − c² − d²)² − 16abcd·cos²((B + D)/2) = (2ab + 2cd)² − (a² + b² − c² − d²)² − 16abcd·cos²((B + D)/2).
4. Разность квадратов: (2ab + 2cd − a² − b² + c² + d²)(2ab + 2cd + a² + b² − c² − d²) = ((c + d)² − (a − b)²)((a + b)² − (c − d)²) = (c + d − a + b)(c + d + a − b)(a + b − c + d)(a + b + c − d) = 16(p − a)(p − b)(p − c)(p − d). Разделив на 16, получаем требуемую формулу.
5. б) Во вписанном четырёхугольнике B + D = 180°, cos((B + D)/2) = 0, и S = √((p − a)(p − b)(p − c)(p − d)). Треугольник — предельный случай вписанного четырёхугольника при d → 0 (вершина D стремится к A по дуге): p − d → p, и получаем S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) — формулу Герона.