Номер 846 — Геометрия 11 класс

Докажите, что площадь S выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c, d и полупериметром p выражается формулой S = r_a(p − a) + r_c(p − c), где r_a и r_c — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных a и c, и продолжений соседних сторон (рис. 218).

1. Пусть AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, и прямые AD и BC пересекаются в точке P за точками A и B (как на рисунке; если a > c, обозначения меняются местами). Тогда окружность ω_a радиуса r_a, касающаяся AB и продолжений сторон DA, CB, — это окружность, вписанная в треугольник PAB, а ω_c радиуса r_c, касающаяся CD и продолжений сторон BC, AD за точки C и D, — вневписанная окружность треугольника PCD, касающаяся стороны CD.
2. Обе окружности вписаны в угол P с половиной θ. Отрезок касательной из P к окружности радиуса r, вписанной в этот угол, равен r·ctg θ. Для ω_a это p₁ − a, где p₁ = (PA + PB + a)/2 — полупериметр треугольника PAB; для ω_c это полупериметр p₂ = (PC + PD + c)/2 треугольника PCD. Так как PC = PB + b, PD = PA + d, то (r_c − r_a)ctg θ = p₂ − (p₁ − a) = (b + c + d + a)/2 = p.
3. S(PAB) = r_a·p₁ = r_a(r_a·ctg θ + a) = r_a²ctg θ + r_a·a; S(PCD) = r_c(p₂ − c) = r_c(r_c·ctg θ − c) = r_c²ctg θ − r_c·c (задача 845 а).
4. S = S(PCD) − S(PAB) = (r_c² − r_a²)ctg θ − r_c·c − r_a·a = (r_c + r_a)·(r_c − r_a)ctg θ − r_c·c − r_a·a = (r_a + r_c)p − r_a·a − r_c·c = r_a(p − a) + r_c(p − c).
5. Если AD ∥ BC, обе окружности касаются этих параллельных прямых, r_a = r_c = h/2, где h — расстояние между ними, и S = h(b + d)/2 = (h/2)((p − a) + (p − c)) — формула верна и в этом случае.