Условие
Отрезки AD, AH и AM — биссектриса, высота и медиана треугольника ABC, вписанная в треугольник окружность касается стороны BC в точке K. Докажите, что MK² = MD·MH.
Разбор задания
Номер 849 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть BC = a, CA = b, AB = c, p — полупериметр. Отсчитываем расстояния от B вдоль BC: BM = a/2; BK = p − b = (a + c − b)/2; BD = ac/(b + c) (свойство биссектрисы); BH = c·cos B = (a² + c² − b²)/(2a).
- MK = |BM − BK| = |b − c|/2.
- MD = |BM − BD| = |a/2 − ac/(b + c)| = a|b − c|/(2(b + c)); MH = |BM − BH| = |a/2 − (a² + c² − b²)/(2a)| = |b² − c²|/(2a).
- MD·MH = a|b − c|·|b − c|(b + c)/(2(b + c)·2a) = (b − c)²/4 = MK².
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →