Номер 850 — Геометрия 11 класс

В треугольнике ABC со сторонами AB = c, BC = a и CA = b r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей, S — площадь, точка O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот, отрезки AD и AM — высота и медиана. Докажите, что: а) a + b = 4R·sin((A + B)/2)·cos(|A − B|/2); б) |a − b| = 4R·cos((A + B)/2)·sin(|A − B|/2); в) |a − b|/(a + b) = tg(|A − B|/2)/tg((A + B)/2); г) (a² − b²)/c = a·cos B − b·cos A; д) a + b + c = 8R·cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2); е) cos²A = sin²B + cos²C − 2sin A·sin B·cos C; ж) r = 4R·sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2); з) r = a·sin(B/2)sin(C/2)/cos(A/2); и) AH = a(b² + c² − a²)/(4S); к) OH² = 9R² − a² − b² − c²; л) DM = |b² − c²|/(2a).

1. а), б) По теореме синусов a = 2R·sin A, b = 2R·sin B. Формулы суммы и разности синусов: a + b = 2R(sin A + sin B) = 4R·sin((A + B)/2)cos((A − B)/2); a − b = 4R·cos((A + B)/2)sin((A − B)/2); модуль учитывает знак разности A − B.
2. в) Делим б) на а): |a − b|/(a + b) = [cos((A+B)/2)sin(|A−B|/2)]/[sin((A+B)/2)cos(|A−B|/2)] = tg(|A − B|/2)/tg((A + B)/2).
3. г) По теореме косинусов cos B = (a² + c² − b²)/(2ac), cos A = (b² + c² − a²)/(2bc): a·cos B − b·cos A = (a² + c² − b² − b² − c² + a²)/(2c) = (a² − b²)/c.
4. д) a + b + c = 2R(sin A + sin B + sin C). Так как C = 180° − A − B: sin A + sin B = 2sin((A+B)/2)cos((A−B)/2) = 2cos(C/2)cos((A−B)/2), sin C = 2sin(C/2)cos(C/2) = 2cos((A+B)/2)cos(C/2). Сумма: 2cos(C/2)[cos((A−B)/2) + cos((A+B)/2)] = 4cos(C/2)cos(A/2)cos(B/2). Итого a + b + c = 8R·cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2).
5. е) Теорема косинусов c² = a² + b² − 2ab·cos C после подстановки a = 2R·sin A и т. д. даёт sin²C = sin²A + sin²B − 2sin A·sin B·cos C. Заменим sin²C = 1 − cos²C и sin²A = 1 − cos²A: 1 − cos²C = 1 − cos²A + sin²B − 2sin A·sin B·cos C, откуда cos²A = sin²B + cos²C − 2sin A·sin B·cos C.
6. ж) Пусть I — центр вписанной окружности, окружность касается BC в точке K. BK = r·ctg(B/2), CK = r·ctg(C/2), поэтому a = r(ctg(B/2) + ctg(C/2)) = r·sin((B + C)/2)/(sin(B/2)sin(C/2)) = r·cos(A/2)/(sin(B/2)sin(C/2)). С другой стороны, a = 2R·sin A = 4R·sin(A/2)cos(A/2). Приравнивая: r = 4R·sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2).
7. з) Из первого равенства п. ж): r = a·sin(B/2)sin(C/2)/cos(A/2).
8. и) AH = 2R·cos A (расстояние от вершины до ортоцентра: в треугольнике AHB… проще так: точка H и вершина A; AH = BC·ctg A = a·cos A/sin A = 2R·cos A, поскольку a = 2R·sin A). Тогда 2R·cos A = 2R(b² + c² − a²)/(2bc) = R(b² + c² − a²)/(bc). Так как abc = 4RS, то R/(bc) = a/(4S), и AH = a(b² + c² − a²)/(4S).
9. к) Радиус-векторы вершин относительно O: a⃗, b⃗, c⃗ длины R, OH⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗ (задача о прямой Эйлера). OH² = 3R² + 2(a⃗·b⃗ + b⃗·c⃗ + c⃗·a⃗). Из |a⃗ − b⃗|² = c²: 2a⃗·b⃗ = 2R² − c², аналогично для других пар. OH² = 3R² + 6R² − a² − b² − c² = 9R² − a² − b² − c².
10. л) BD = c·cos B = (a² + c² − b²)/(2a), BM = a/2. DM = |BM − BD| = |a² − a² − c² + b²|/(2a) = |b² − c²|/(2a).