Условие
Отрезки AA₁ и BB₁ — биссектрисы треугольника ABC, луч CC₁ — биссектриса его внешнего угла, причём точка C₁ лежит на прямой AB. Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
Разбор задания
Номер 851 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- По свойству биссектрисы BA₁/A₁C = c/b, CB₁/B₁A = a/c; по свойству биссектрисы внешнего угла (задача 837) AC₁/C₁B = b/a, причём C₁ лежит вне отрезка AB.
- Произведение: (BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A)·(AC₁/C₁B) = (c/b)(a/c)(b/a) = 1, при этом ровно одна из точек (C₁) лежит на продолжении стороны.
- По теореме Менелая (обратной) точки A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →