Номер 853 — Геометрия 11 класс

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC или их продолжениях отмечены соответственно точки A₁, B₁ и C₁, лежащие на одной прямой. Докажите, что точки A₂, B₂ и C₂, симметричные соответственно точкам A₁, B₁ и C₁ относительно середин сторон BC, CA и AB, также лежат на одной прямой.

1. По теореме Менелая для точек A₁, B₁, C₁: (BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A)·(AC₁/C₁B) = 1, причём на продолжениях сторон лежит нечётное число этих точек.
2. При симметрии относительно середины стороны BC отрезки меняются местами: BA₂ = A₁C, A₂C = BA₁, поэтому BA₂/A₂C = A₁C/BA₁ — обратная величина. Точка A₂ лежит на стороне тогда же, когда и A₁. То же для B₂ и C₂.
3. Произведение отношений для A₂, B₂, C₂ равно обратной величине произведения для A₁, B₁, C₁, то есть 1, а число точек на продолжениях сторон то же (нечётное). По обратной теореме Менелая A₂, B₂, C₂ лежат на одной прямой.