Условие
Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения её диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Разбор задания
Номер 854 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть ABCD — трапеция с основаниями AB и CD, M и N — их середины, O = AC ∩ BD, P = AD ∩ BC.
- Гомотетия с центром P и коэффициентом PD/PA переводит A в D, B в C (треугольники PAB и PDC подобны), значит отрезок AB — в отрезок DC, а его середину M — в середину N. Точки P, M, N лежат на одной прямой.
- Гомотетия с центром O и коэффициентом −OC/OA переводит A в C, B в D (AB ∥ CD), отрезок AB — в CD, середину M — в середину N. Значит, O, M, N лежат на одной прямой.
- Обе прямые проходят через M и N, поэтому это одна прямая MN, содержащая и O, и P.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →