Номер 855 — Геометрия 11 класс

На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки K, L, M и N, не совпадающие с вершинами четырёхугольника. Докажите, что: а) прямые KL, MN и AC пересекаются в одной точке или параллельны друг другу тогда и только тогда, когда (AK/KB)·(BL/LC)·(CM/MD)·(DN/NA) = 1; б) прямые KL, MN и AC пересекаются в одной точке или параллельны друг другу тогда и только тогда, когда это же верно в отношении прямых KN, LM и BD.

1. а) Пусть прямая KL пересекает прямую AC в точке X, а прямая MN — в точке Y. По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой KLX: (AK/KB)·(BL/LC)·(CX/XA) = 1; для треугольника ACD и прямой MNY: (CM/MD)·(DN/NA)·(AY/YC) = 1.
2. Перемножая: (AK/KB)(BL/LC)(CM/MD)(DN/NA)·(CX/XA)·(AY/YC) = 1. Значит, произведение четырёх отношений равно 1 тогда и только тогда, когда CX/XA = CY/YA, то есть X = Y (точка прямой AC однозначно определяется отношением, в котором она делит AC, с учётом расположения вне или внутри отрезка) — прямые KL, MN, AC проходят через одну точку.
3. Если KL ∥ AC, то по теореме Фалеса (AK/KB)(BL/LC) = 1, и произведение равно 1 тогда и только тогда, когда (CM/MD)(DN/NA) = 1, то есть MN ∥ AC. Итак, условие равносильно тому, что три прямые пересекаются в одной точке или параллельны.
4. б) Применяя п. а) к прямым KN, LM и диагонали BD, получаем условие (BK/KA)·(AN/ND)·(DM/MC)·(CL/LB) = 1, а это обратная величина произведения из п. а). Оба произведения равны 1 одновременно.