Номер 857 — Геометрия 11 класс

Окружность с центром O касается двух неравных окружностей с центрами O₁ и O₂ в точках A₁ и A₂ соответственно. Докажите, что прямая A₁A₂ проходит через точку пересечения прямой O₁O₂ и общей касательной (внешней или внутренней) к окружностям с центрами O₁ и O₂.

1. Гомотетия с центром A₁ и коэффициентом ±r/r₁ (знак «+» при внутреннем касании, «−» при внешнем) переводит окружность с центром O₁ в окружность с центром O; гомотетия с центром A₂ и коэффициентом ±r₂/r переводит окружность с центром O в окружность с центром O₂.
2. Композиция двух гомотетий с разными центрами — гомотетия (коэффициент ±r₂/r₁ ≠ 1, так как окружности неравны), центр которой лежит на прямой, соединяющей центры исходных гомотетий, то есть на прямой A₁A₂. Эта композиция переводит первую окружность во вторую.
3. Гомотетия, переводящая одну окружность в другую, имеет центр в одном из двух центров подобия окружностей — точке пересечения прямой O₁O₂ с общими внешними (при положительном коэффициенте) или внутренними (при отрицательном) касательными. Значит, прямая A₁A₂ проходит через соответствующую точку пересечения O₁O₂ с общей касательной.