Номер 858 — Геометрия 11 класс

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ расположены так, что прямые AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁ пересекаются в точках P, Q, R. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке или попарно параллельны тогда и только тогда, когда точки P, Q и R лежат на одной прямой (теорема Дезарга).

1. Пусть прямые AA₁, BB₁, CC₁ проходят через точку O. Применим теорему Менелая к треугольнику OAB и прямой A₁B₁ (она пересекает OA в A₁, OB в B₁, AB в P): (OA₁/A₁A)·(AP/PB)·(BB₁/B₁O) = 1. Аналогично для треугольника OBC и прямой B₁C₁Q: (OB₁/B₁B)·(BQ/QC)·(CC₁/C₁O) = 1; для треугольника OCA и прямой C₁A₁R: (OC₁/C₁C)·(CR/RA)·(AA₁/A₁O) = 1.
2. Перемножим три равенства: отношения с точками A₁, B₁, C₁ взаимно сокращаются, и остаётся (AP/PB)·(BQ/QC)·(CR/RA) = 1 (с учётом знаков — нечётное число точек на продолжениях сторон). По обратной теореме Менелая P, Q, R лежат на одной прямой. Если AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁, рассуждение то же с заменой теоремы Менелая на теорему Фалеса (пропорциональные отрезки на параллельных прямых).
3. Обратно, пусть P, Q, R лежат на одной прямой. Треугольники AA₁R и BB₁Q таковы, что прямые AB, A₁B₁ и RQ проходят через одну точку P. По доказанному пересечения их соответственных сторон лежат на одной прямой: AA₁ ∩ BB₁ = O′, A₁R ∩ B₁Q = C₁ (прямая A₁R — это A₁C₁, прямая B₁Q — это B₁C₁), AR ∩ BQ = C (AR — это AC, BQ — это BC). Значит, O′, C₁, C лежат на одной прямой, то есть CC₁ проходит через O′ = AA₁ ∩ BB₁. Если AA₁ ∥ BB₁, то тем же путём получаем CC₁ ∥ AA₁.