Номер 859 — Геометрия 11 класс

На стороне BC треугольника ABC отмечены точки A₁ и A₂, симметричные относительно середины BC, а на сторонах AC и AB отмечены соответственно точки B₁, B₂ и C₁, C₂, симметричные относительно середин этих сторон. Докажите, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

1. По теореме Чевы отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда (BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A)·(AC₁/C₁B) = 1.
2. Симметрия относительно середины стороны меняет отрезки местами: BA₂ = A₁C, A₂C = BA₁, поэтому BA₂/A₂C = A₁C/BA₁; аналогично для B₂ и C₂.
3. Произведение отношений для A₂, B₂, C₂ равно обратной величине произведения для A₁, B₁, C₁. Одно из них равно 1 тогда и только тогда, когда равно 1 другое.