Номер 47 — Алгебра 8 класс

(Задача-исследование.) Верно ли, что при всех значениях a, отличных от −2 и 2, значение дроби (a² − 4)/(12 + a² − a⁴) является отрицательным числом? 1) Выберите произвольное значение a, отличное от −2 и 2, и сравните с нулём соответствующее значение дроби. 2) Разложите знаменатель на множители и сократите дробь. 3) Сделайте вывод.

1. 1) При a = 1: (1 − 4)/(12 + 1 − 1) = −3/12 < 0.
2. 2) 12 + a² − a⁴ = (16 − a⁴) − (4 − a²) = (4 − a²)(4 + a²) − (4 − a²) = (4 − a²)(a² + 3). Дробь: (a² − 4)/((4 − a²)(a² + 3)) = −1/(a² + 3).
3. 3) a² + 3 > 0, значит, дробь равна −1/(a² + 3) < 0 при всех допустимых a. Утверждение верно.