Номер 588 — Алгебра 9 класс

(Задача-исследование.) Могут ли числа 20 и 35 быть членами арифметической прогрессии, первый член которой равен 12 и разность не равна 1? 1) Предположив, что 20 и 35 — члены прогрессии, выразите каждое из них через d, n и m (n — номер члена, равного 20, m — номер члена, равного 35). Докажите, что (n − 1)/(m − 1) = 8/23. 2) Полагая n − 1 = 8k и m − 1 = 23k (k ∈ N), выразите n и m через k. Обсудите, как, выбрав значение k, большее 1, можно получить нужную прогрессию. 3) Объясните, почему k = 1 приводит к противоречию с условием.

1. 1) 20 = 12 + (n − 1)d и 35 = 12 + (m − 1)d, то есть (n − 1)d = 8, (m − 1)d = 23. Деля, получаем (n − 1)/(m − 1) = 8/23.
2. 2) n = 8k + 1, m = 23k + 1, d = 8/(8k) = 1/k. При k = 2: d = 0,5, n = 17, m = 47 — прогрессия 12; 12,5; 13; … содержит 20 (17-й член) и 35 (47-й член). Подходит любое k ≥ 2.
3. 3) При k = 1 получаем d = 1, что запрещено условием.